《几何原本》是如何翻译的？又有哪些人的参与？
现在书上介绍利玛窦和徐光启翻译《几何原本》的过程，一般只是说：他们1606年开始，1607年完成等，仅此而已。其实，他们翻译的过程并不这么简单，期间也是曲曲折折，再三思量。特别是对于一些关键的问题，他们更是费尽心思。甚至不断地向周围有关的人员请教，或是参考其它的书籍等。由此，《几何原本》也可以说是多人共同努力翻译的结果。纵观整个翻译过程，其大体可以分为三个阶段：一是无意间尝试翻译，二是为研究科学正式翻译，三是为推广目的进行刻印。
无意间尝试翻译
据载，利玛窦(Matteo Ricci)于1577年5月离开罗马，于1583年2月来到中国。8月在肇庆建立“仙花寺”，开始传教。为了传教，利玛窦从西方带来了许多用品，比如圣母像、地图、星盘和三棱镜等。这其中就有欧几里德的《几何原本》。这是利玛窦在罗马学院学习用的课本。它是由利玛窦的恩师当时欧洲著名的数学家克拉维乌斯(Clavius)神父根据欧几里德的《几何原本》整理编纂的。本来欧几里德的《几何原本》有十三卷，克拉维乌斯神父在后面又增添了两卷注释，这样总共十五卷。
利玛窦在中国的传教一开始很不顺利。为此，利玛窦转变了策略，决定采取了曲线传教的方针，先向公众开放图书室、展示地图、宣扬西方科技等，然后再伺机行事。事实证明，此计果然奏效。利玛窦的这些行动不仅吸引了很多平民百姓，而且也招来了很多知识分子。比如当时的知俯王泮和知名学者顾起元等。
在这些招来的知识分子中，有一个从苏州来的浪荡公子叫瞿太素。据说，其系出名门，是明朝礼部尚书瞿景淳之子，但其从小忤逆孔孟，不学无术。后来败坏了其全部家财，就开始到处流浪，靠父亲生前好友的施舍度日。1589年其到肇庆访友，听说利玛窦懂很多奇异之术，遂去拜访，并决定师从利玛窦。
瞿太素的到来，一开始让利玛窦很高兴。但后来其发现瞿太素的真正目的是想打探炼金术，而不是致力于基督教义，这让利玛窦很失望。于是，利玛窦开始向瞿太素介绍西方科技，以期改变其想法。据利玛窦的中国札记记载：“在结识之初，翟太素并不泄露他的主要兴趣是搞炼金术。有关神父们是用这种方法变出银子来的谣言和信念仍在流传着，但他们每天交往的结果倒使他放弃了这种邪术，而把他的天才用于严肃的和高尚的科学研究。他从研究算学开始，因洲人的算学要比中国的更简单和更有条理。……他接着从事研习丁先生的地球仪和欧几里德的原理，即欧氏的第一书。……当他把这些注释呈献给他的有学识的官员朋友们时，他和他所归功的老师都赢得普遍的、令人羡慕的声誉。”这里提到的丁先生的“欧氏第一书”即是克拉维乌斯的《几何原本》第一卷。Clavius在汉语中有“钉子”的意思，因此，其早先被翻译为丁先生。
由此可见，早在徐光启翻译《几何原本》之前15年(这个时期是1592年)已经有人开始作这方面的尝试了。这个急先锋便是瞿太素。但是，显然这次的翻译不是利玛窦主动和有意识的，是瞿太素为自己学习的方便和显示自己的才学翻译的。翻译的内容也仅是《几何原本》第一卷。
1598年6月利玛窦晋京面圣，未果，次年返回南京。在南京期间，其广交朋友，宣扬基督教，传播西方天文学、地理学和数学等。由此，其名声鹊起，被誉为数学家和天文学家。由于这个原因，也由于当时瞿太素的诱发，向利玛窦学习数学的人多起来。首先是当时著名学者李心斋的儿子，然后是他的两个学生。再然后是当时的翰林王肯堂的学生张养默。
对于张养默，利玛窦的评价很高，他说：“(张养默)比其它两个人都聪明。”他之所以被派来，原因是：“经过长时期的研究之后，他(王肯堂)没有能发现任何明确的中国数学体系这样的东西;他枉然试图建立一个体系，作为一种方法论的科学，但最后放弃了这种努力。于是他把他的学生派来，带有一封给利玛窦神父的推荐倍，请他收下这个学生代替他自己教导。”并且利玛窦说：“这个学生性情有点傲慢，但不久就变得谦恭近人，他以毕达哥拉斯的一句格言“老师这样说的’作为座右铭。他无师自学了欧几里德的第一卷。他不断向利冯安神父请教几何学问题，当他的老师告诉他不要占用别的学生的时间时，他就去工作和用中文印刷自己的教科书。在讲授过程中，利玛窦神父提到了传播基督的律法，这个特殊学生告诉他说，与偶像崇拜者进行辩论纯属浪费时间，他认为以教授数学来启迪中国人就足以达到他的目的了。”由此可见，张养默是继瞿太素之后学习欧几里德几何的又一人，他也曾尝试翻译过《几何原本》第一卷。但这同样不是利玛窦的意志，此时他甚至反对这种翻译。
为研究科学正式翻译
1601年1月，利玛窦再次晋京面圣，此次获得成功，并且获准在北京居住和传教。1604年4月，徐光启中进士。为了获得翰林院的职位，其决定留在北京参加每月一次连续两年的考试。从此利玛窦和徐光启交往多起来。是年，利玛窦出版了《二十五箴言》，再版了《天主实义》和《交友论》。1606年发表了《畴人十篇》。此时，徐光启已跟利玛窦学习西方科技多时，深感西方科技的精妙。于是向利玛窦建议：“既然已经印刷了有关信仰和道德的书籍，现在他们就应该印行一些有关欧洲科学的书籍，引导人们做进一步的研究，内容要新奇而有证明。”这个建议被利玛窦愉快的接受了.
利玛窦之所以当时能接受这个建议，经研究，主要有两个原因。一是利玛窦在经过了广东出示地图、星盘等科技器件，又经过了南京的西方科技口头讲解，到了北京已经很长时间再没有给国人提供更新和更深入的西方科技知识了，这就造成了当时来拜望利玛窦的人员远不如从前。特别是那些士大夫阶层的知识分子，他们在了解了利玛窦以前所讲的新知识后，不能进一步得到更新的，他们已开始变得消极。二是经过了一段时间的交往，利玛窦发现徐光启不同于其它的中国知识分子，他异常聪明，同时勤奋刻苦，积极上进。而这两个原因中，第一个又是主要的。由此，利玛窦决定翻译西方文献，直接的目的是宣扬西方科技。
翻译的事情决定了，他们遂即开始着手工作。工作之初，需要决定先翻译什么著作。此时利玛窦指定《几何原本》。之所以如此，据利玛窦讲是因为：“中国人最喜欢的莫过于关于欧几里德的《几何原本》一书。原因或许是没有人比中国人更重视数学了，虽则他们的教学方法与我们的不同;他们提出了各种各样的命题，却都没有证明。这样一种体系的结果是任何人都可以在数学上随意驰骋自己最狂延的想象力而不必提供确切的证明。欧几里德则与之相反，其中承认某种不同的东西;亦即，命题是依序提出的，而且如此确切地加以证明，即使最固执的人也无法否认它们。”
起初因为事务繁忙，徐光启委派了一位朋友来帮助利玛窦翻译。这个朋友据德礼贤考证姓蒋，但名字无从证实。利玛窦记录的意大利文为Ciangueinhi。他与徐光启同年中举，但并没有得到很好职位。他住在教堂里，一边给庞迪我神父上中文课，一边帮助利玛窦翻译《几何原本》。但不久，利玛窦发现他们之间的合作并不顺利。于是向徐光启反应，要求派一个好一点的帮手。利玛窦说：“除非是有天分的学者，没有人能承担这项任务并坚持到底。”由此，徐光启开始亲自动手翻译。据记载，从1606年9月到1607年5月，徐光启每天下午都到利玛窦的住所翻译三、四个小时。
他们起初的翻译还比较顺利，这是因为他们是遵循了《几何原本》原有的顺序，一上来先翻译定义、公理和公设，比较少的涉及定理的证明和推理等。并且，他们还有瞿太素和张养默早先翻译的第一卷作参考。后面就比较困难了。这是因为：一、利玛窦熟悉《几何原本》，但未必熟悉中文的表达和书写;二、徐光启尽管熟悉中文，但却少有数学基础。查徐光启生平，在1606年之前，他学习过四书五经、兵书、农书和医书等，但天文历算方面的书却未涉及过。所以这个时候，双方不得不都十分努力。据载，此时他们曾多次向周围的人请教。这些人中，有当时在北京的庞迪我神父和熊三拔神父，有常来探讨学术和教义的杨廷筠、李之藻、叶向高、冯应京、曹于汴、赵可怀、祝宰伯、吴大参等人。特别是两位神父，其始终在场。从这里说，这部《几何原本》的翻译其实凝聚了很多人的工作，是多人合作的结果。
道路虽然艰难，但最后他们还是走下来了。到了1607年春天，他们译出了《几何原本》前六卷。
对于翻译的成功，利玛窦很高兴。他高度赞扬了徐光启，他说他聪明好学，经过了不长一段时间的学习，就能用清晰优美的中文来写他所学到的一切东西了。徐光启则高度评价了利玛窦，说利玛窦勤奋、认真，由此我也不敢怠慢等等。另外，利玛窦也提到了我们的汉语，他说：“这里也指出，中文当中并不缺乏成语和词汇来恰当地表述我们所有的科学术语。”
前六卷翻译完成之后，徐光启曾要求继续翻译，将后面的九卷也翻译出来，但利玛窦拒绝了。之所以如此，目前有多种说法。第一种说法是利玛窦根本不想翻译，其本质的目的是在中国传教，非科学传播。翻译完了前六卷，其已感到没必要再继续下去了。第二种说法是后面的九卷涉及到了立体几何和数论等知识，比较繁难了，所以就此罢手了。第三种说法是利玛窦想停一下，先看看发行之后的效果如何，然后再翻译后面的。第四种说法是利玛窦根本不懂后面的内容，由此，他宁可转向去翻译《测量法义》，而决不再继续了。
以上四种理由似乎都有道理，特别是第四种。它是通过对照利玛窦在罗马学院的课程表和利玛窦的学习情况得出得来。在当时的罗马学院中，的确有《几何原本》的学习计划，但那是分两次完成的，第一次在二年级，学习前六卷，第二次在最后年级，学习后九卷。可是利玛窦急于到中国来传教，没有学习最后的课程就离开了。其后，利玛窦忙于各种教务，再也没有过学习后九卷的时间和机会。所以，其不熟悉后面的内容是很有可能的。
尽管如此，利玛窦对我国数学发展做出的贡献还是很大的。他和徐光启翻译的《几何原本》是第一个内容较多且正式的中文译本，其简练、准确、图文并茂。梁启超曾评价它为：“字字精金美玉，是千古不朽的著作。”在这里他们创造了许多数学概念，如点、线、面、平面、曲线、曲面、直角、钝角、锐角、垂线、平行线、对角线、三角形、四边形、多边形、圆、圆心、平边三角形(等边三角形)、斜方形(菱形)、相似、外切、几何等等。这些概念一直使用到今天。并且，其一改中国古代数学书籍编写方式，引入了公理化方法，使用了证明等。这些做法，在当时产生了极大的影响，使得当时一大批学者倾服。明末名将孙元化(也是徐光启的学生)在学习了《几何原本》之后，连出《几何体论》、《几何用法》和《泰西算要》三本研究著作。到了清初，这类书就更多了，如1611年方中通出版了《几何约》，1679年李子金出版了《几何易简录》，1692年梅文鼎出版了《几何通解》，1700年杜知耕出版了《几何论约》等。
为推广目的进行刻印
《几何原本》前六卷翻译完毕，徐光启知不能得立即得后面的内容了，遂即准备了刻印。首先其代利玛窦撰写了《几何原本引》，以利玛窦的口吻阐明了《几何原本》的高明，赞扬了利玛窦的老师克拉维乌斯神父的贡献，讲述了翻译此书的缘由和过程等。然后，徐光启有撰写了《刻几何原本序》和《几何原本杂议》。在《刻几何原本序》中徐光启阐述了数学的重要性，指出了我国传统数学流传不再的遗憾，赞扬了欧氏几何的作用之大，为推广算学，由此“偕二三同志刻而传之”。在《几何原本杂议》中，其细说了自己学习《几何原本》的体会，说《几何原本》有四不必疑和三至三能，是“金针度去从君用，未把鸳鸯绣于人”等。随后付梓，刻印了第一版。
接着，徐光启的父亲在京去世，徐光启遂即扶柩归葬返回了上海。1610年4月，利玛窦去世。同年秋天徐光启又回到了北京。越明年夏，京城大雨多日，徐光启在家闲置，与庞迪我和熊三拔二人将前译《几何原本》重新审阅一遍，增订修补多处，作《跋几何原本》后，再次出版。在《跋几何原本》中，徐光启回顾了翻译的过程，并感慨地说：“绩成大业，未知何日?未知何人?书以俟焉。”渴望再次翻译后九卷的心情溢于言表。自此，《几何原本》在国内流传起来。