投票悖论是什么？孔多塞悖论的发展与解决
投票悖论指的是在通过"多数原则"实现个人选择到集体选择的转换过程中所遇到的障碍或非传递性，这是阿罗的不可能定理衍生出的难题。公共选择理论对投票行为的研究假设投票是那些其福利受到投票结果影响的人们进行的，投票行为的作用是将个人偏好转化为社会偏好。在多数投票原则下，可能没有稳定一致的结果。
起源
历史
孔多塞发现这一悖论是在十八世纪。200多年来，西方国家对于民主政治的研究极其深入，关于投票问题已经形成系统和成熟的理论体系，孔多塞、阿罗、阿马蒂亚·森等都曾在这一领域做出过杰出贡献。这些研究推动了西方民主的不断发展。
孔多塞悖论
十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的"投票悖论"，也称做是"孔多塞悖论":假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如下图的偏好排序:
甲A>B>C
乙B>C>A
丙C>A>B
由于甲乙都认为B好于C，根据少数服从多数原则，社会也应认为B好于C;同样乙丙都认为C好于A，社会也应认为C好于A。所以社会认为B好于A。但是，甲丙都认为A好于B，所以出现矛盾。投票悖论反映了直观上良好的民主机制潜在的不协调。
在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。大多数人是偏好x胜于y，同样大多数人也是偏好y胜于z。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的(transivity)，即大多数人偏好x胜于z。但实际上，大多数人偏好z胜于x。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果，这就好像一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这被称作"投票悖论"(thevotingparadox)，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这种两难境地。
发展
1972年诺贝尔经济学奖的获得者肯尼思·阿罗，在他的《社会选择与个人价值》(1951)中，证明了著名的阿罗不可能性定理，把这个投票悖论形式化了。在该书中，他运用数学工具把孔多塞的观念严格化和一般化了。
那么，能不能设计出一个消除循环投票，做出合理决策的投票方案呢?
阿罗的结论
根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序 (agenda)的多数规则的投
投票悖论
投票悖论
票方案。
阿罗证明
不存在同时满足如下四个基本公理的社会选择函数:
1)个人偏好的无限制性，即对一个社会可能存在的所有状态，逻辑 上可能的个人偏好都不应当先验地被排除;
2)弱帕累托原则，
3)非相关目标独立性，即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响;
4)社会偏好的非独裁性。
简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。投票悖论表明:根本不存在一种能满足阿罗五个假设条件的社会选择原理。解决投票悖论的方法是限制投票偏好，即将多峰偏好改为单峰偏好。
解决
1998年诺贝尔经济学奖获得者阿马蒂亚·森在20世纪70年代提出对"投票悖论"的解决方法。阿马蒂亚·森所提出的解决投票悖论、绕过"阿罗不可能定理"的方法就是改变甲、乙、丙其中一个人的偏好次序，以解决投票悖论的问题。
举例
比如将甲的偏好次序从(A>B>C)改变为(A>C>B)
，新的偏好次序排列如下:
甲A>C>B
乙B>C>A
丙C>A>B
于是得到三个社会偏好次序--(A>B)(C>B)(C>A)，这样就能避开投票悖论，当然它却改变了甲的偏好次序。
阿马蒂亚·森选择模式
阿马蒂亚·森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式:
一、所有人都同意其中一项选择方案并非是最佳;
二、所有人都同意其中一项选择方案并非是次佳;
三、所有人都同意其中一项选择方案并非是最差。
阿马蒂亚·森表示在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。但是有一个问题是为了追求一致性，改变、忽略、牺牲了个人偏好次序。